计算多项式指定系数

注意：代码由人类编写，文章由AI(deepseek-r1:617B)书写

我们需要展开多项式 $(by + ax)^k$ ，并找到其中 $x^n y^m$ 项的系数。根据二项式定理，展开式中的每一项形式为 $\binom{k}{i} (ax)^i (by)^{k-i}$ 。当 $i = n$ 且 $k - i = m$ 时，即 $n + m = k$ ，此时对应的项即为所求。因此，该系数为：

\binom{k}{n} \cdot a^n \cdot b^m

解题步骤：

预处理组合数： 使用动态规划预计算组合数 $\binom{k}{n} \mod 10007$ 。
快速幂计算： 分别计算 $a^n \mod 10007$ 和 $b^m \mod 10007$ 。
结果相乘取模： 将组合数与两个幂的结果相乘，并对结果取模。

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

const int maxk = 1000, P = 10007;
int C[maxk + 5][maxk + 5]; // 组合数数组

// 快速幂函数，计算 (base^e) % P
int qpow(int base, int e) {
    int res = 1;
    while (e > 0) {
        if (e & 1) res = res * base % P;
        base = base * base % P;
        e >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    int a, b, k, n, m;
    cin >> a >> b >> k >> n >> m;
    
    // 预处理组合数 C[i][j]
    for (int i = 0; i <= maxk; ++i) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; ++j)
            C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % P;
    }
    
    // 计算三个部分的模值并相乘
    int comb = C[k][m];
    int a_pow = qpow(a % P, n);
    int b_pow = qpow(b % P, m);
    
    cout << comb * a_pow % P * b_pow % P << endl;
    return 0;
}

代码详解：

预处理组合数： 使用二维数组 C 存储组合数 $\binom{i}{j}$ 。通过递推公式 $\binom{i}{j} = \binom{i-1}{j} + \binom{i-1}{j-1}$ 计算，并取模 10007。
快速幂函数 qpow： 高效计算大数幂取模，避免直接计算大数导致溢出。
主函数： 读取输入后，计算组合数，再利用快速幂得到 $a^n$ 和 $b^m$ 的模值，最后相乘取模得到结果。